Probabilidad condicional

La definición. $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, con $P(B)>0$. Se lee «probabilidad de $A$ dado $B$».

Saber algo reduce el espacio muestral. Al condicionar ya no se considera todo lo posible, sino solo los casos donde ocurrió $B$. Por eso $B$ pasa al denominador: se convirtió en el nuevo universo.

Con una tabla de doble entrada la fórmula casi no hace falta: $P(A|B)$ es la casilla de $A$ y $B$ dividida por el TOTAL de la fila o columna de $B$, no por el total general.

Regla del producto. Despejando: $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$. Es lo que se usa en los árboles: se multiplica a lo largo de una rama.

Independencia. $A$ y $B$ son independientes si $P(A|B)=P(A)$, es decir si saber que ocurrió $B$ no cambia nada. En ese caso $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

El orden importa. $P(A|B)$ y $P(B|A)$ son cosas distintas y rara vez coinciden: la probabilidad de tener fiebre dado que hay gripe es altísima, y la de tener gripe dado que hay fiebre, mucho menor. Las alternativas de la prueba suelen incluir las dos.

Diagramas de árbol. Cada nivel es una etapa y cada rama lleva su probabilidad. Para la de un camino completo se multiplica a lo largo de la rama; para un suceso que ocurre por varios caminos, se suman las ramas. Las probabilidades que salen de un mismo nodo suman siempre $1$, y esa es la comprobación de que el árbol está bien armado.