Modelos probabilísticos (binomial)

Cuándo aplica. Se necesitan cuatro condiciones: número FIJO de repeticiones $n$, solo dos resultados por repetición (éxito o fracaso), probabilidad $p$ constante, y repeticiones independientes. Si el enunciado saca bolitas sin reposición, $p$ cambia y el modelo ya no sirve.

La fórmula. $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$. Cada parte hace algo distinto:

Esperanza y varianza. $E(X)=np$ y $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$, con $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$. La esperanza es el número de éxitos que se espera en promedio, y no tiene por qué ser un entero: en $5$ lanzamientos de moneda se esperan $2,5$ caras.

Éxito es lo que uno defina. Puede ser sacar cara, fallar un tiro o que una pieza salga defectuosa. Lo importante es fijar qué es éxito ANTES de escribir $p$, y no cambiarlo a mitad de camino.

«Al menos» y «a lo más». $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$, que es el atajo de siempre. Para «a lo más dos» hay que sumar $P(X=0)$, $P(X=1)$ y $P(X=2)$: la fórmula entrega un valor exacto por vez.

La forma de la distribución. Con $p=0,5$ es simétrica; con $p$ chico se carga hacia la izquierda. El valor más probable está siempre cerca de $np$, lo que permite descartar alternativas sin calcular.