Aprender

Permutación y combinatoria

Contar cuántas opciones hay sin escribirlas todas. Es lo que permite después calcular probabilidades: casos favorables sobre casos posibles.

Lo que hay que saber

Principio multiplicativo: si una decisión tiene $m$ opciones y otra independiente tiene $n$ , juntas dan $m \cdot n$ posibilidades. Es la base de todo lo demás, y sirve incluso cuando ninguna fórmula calza: se dibujan las casillas y se multiplica lo que puede ir en cada una.

Principio aditivo: si las opciones son excluyentes —o una cosa o la otra, nunca ambas—, se SUMAN en vez de multiplicarse. La palabra «o» suele marcar una suma y la «y», un producto.

Situación	Fórmula	Ejemplo
Permutaciones de $n$	$n!$	ordenar $5$ libros: $120$
Variaciones de $k$ entre $n$ (importa el orden)	$\frac{n !}{( n - k )!}$	podio de $3$ entre $8$
Combinaciones de $k$ entre $n$ (no importa)	$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$	comité de $2$ entre $6$
Con repetición permitida	$n^{k}$	claves de $4$ dígitos: $1 0^{4}$

La pregunta que decide todo: ¿cambia el resultado si altero el orden? Un podio sí cambia —primero y segundo no son lo mismo—; un comité de dos personas no. Si el orden importa, van variaciones o permutaciones; si no, combinaciones.

El factorial. $n! = n \cdot (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ , y $0! = 1$ , que es lo que hace que las fórmulas sigan funcionando cuando se eligen todos los elementos. Crece muy rápido: $5! = 120$ pero $10! = 3.628.800$ .

Dos propiedades de las combinaciones que ahorran cuentas: $(k n) = (n - k n)$ —elegir quién entra es lo mismo que elegir quién queda fuera— y $(0 n) = (n n) = 1$ .

Restricciones. Cuando el enunciado obliga a algo —«que empiece con vocal», «que dos personas vayan juntas»— conviene contar primero las posiciones obligadas y después el resto. Y para «al menos uno», casi siempre es más corto contar el total y restar los casos que no cumplen.

Cuatro casilleros vacíos en fila, rotulados como primera, segunda, tercera y cuarta posición de un número de cuatro cifras distintas. Abajo dice que las cifras disponibles son 1, 2, 3, 5 y 7.

Ejemplo resuelto

1 de 3 pasos

De un grupo de 6 personas se debe elegir un comité de 2, sin distinguir cargos. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer?

Me pregunto si importa el orden. Elegir a Ana y Beto es el mismo comité que elegir a Beto y Ana, así que NO importa: es una combinación.
Por qué: El enunciado dice «sin distinguir cargos». Si dijera presidente y secretario, el orden sí importaría y el número sería el doble.

Otro ejemplo

¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los dígitos $1, 2, 3, 4, 5$ ? ¿Y cuántos de ellos son pares?

El error más común

Usar variaciones donde correspondían combinaciones y responder 30. Ese número cuenta dos veces cada comité, una por cada orden posible de las mismas dos personas. Antes de escribir cualquier fórmula, respóndete en voz alta: ¿cambia algo si los ordeno distinto?

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