Esfera: superficie y volumen

Las dos fórmulas. Superficie: $A=4\pi r^2$. Volumen: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. La superficie va con el cuadrado del radio y el volumen con el cubo, y esa diferencia de exponente explica casi todo lo que la prueba pregunta sobre esferas.

Radio y diámetro. $d=2r$, así que $r=\frac{d}{2}$. Si el enunciado da el diámetro, dividir antes de reemplazar no es opcional.

Cómo escalan. Si el radio se multiplica por $k$, la superficie se multiplica por $k^2$ y el volumen por $k^3$:

Por eso las preguntas de comparación se responden sin calcular ningún volumen: basta la razón de los radios elevada al exponente que corresponda.

La esfera y su cilindro. Una esfera ocupa exactamente dos tercios del cilindro más ajustado que la contiene, el de radio $r$ y altura $2r$. Es la relación que descubrió Arquímedes y sirve para estimar sin calculadora.

Media esfera. Un casquete de media esfera tiene volumen $\frac{2}{3}\pi r^3$, y si se pide su superficie hay que decidir si incluye la tapa circular: la media superficie esférica es $2\pi r^2$, y con la tapa son $3\pi r^2$.

Las unidades delatan el error. La superficie va en unidades cuadradas y el volumen en cúbicas. Si el resultado quedó en cm² cuando se pedía volumen, el procedimiento estaba equivocado antes que el número.