El conjunto de los números reales

Los conjuntos están encajados. Naturales $\subset$ enteros $\subset$ racionales $\subset$ reales. Cada uno contiene al anterior, así que todo natural es también entero, racional y real, y una pregunta por «a qué conjunto pertenece» suele admitir varias respuestas verdaderas a la vez.

Racional o irracional. Un racional se puede escribir como fracción de enteros, y su decimal termina o se repite periódicamente. Un irracional no: su decimal es infinito y sin período.

Cuidado con las raíces. $\sqrt{9}=3$ es racional; $\sqrt{10}$ es irracional. Que aparezca una raíz no hace irracional al número: hay que ver si es exacta.

Las operaciones pueden cambiar de conjunto. La suma de dos irracionales puede ser racional: $(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$, y $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$. Por eso no se puede afirmar el resultado sin calcular. En cambio, un racional distinto de cero por un irracional siempre da irracional.

Entre dos reales siempre hay otro —basta el promedio—, y por eso no existe «el número siguiente» a $0,5$ en los reales, como sí existe el siguiente de $5$ en los enteros. Es la propiedad de densidad.

Ubicar un irracional. $\sqrt{20}$ está entre $4$ y $5$ porque $4^2=16$ y $5^2=25$, y más cerca de $4,5$ porque $4,5^2=20,25$. Acotar entre cuadrados perfectos resuelve casi todas las preguntas de orden sin calculadora.

Valor absoluto. $|x|$ es la distancia de $x$ al cero, así que nunca es negativo: $|-7|=7$. En la recta, $|a-b|$ es la distancia entre $a$ y $b$.