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Funciones lineales y cuadráticas

Una función asigna a cada valor de entrada exactamente un valor de salida. La lineal crece siempre al mismo ritmo; la cuadrática cambia de dirección una vez.

Lo que hay que saber

Una función asigna a cada valor de entrada exactamente un valor de salida. El conjunto de entradas admitidas es el dominio y el de salidas efectivas, el recorrido. La notación $f (3) = 11$ se lee «la imagen de $3$ es $11$ », y evaluar una función es reemplazar la letra por el número.

Función lineal: $f (x) = m x + n$ . Su gráfico es una recta. La pendiente $m$ dice cuánto cambia $y$ cuando $x$ aumenta en $1$ : si $m > 0$ la recta sube, si $m < 0$ baja, y si $m = 0$ es horizontal. El coeficiente de posición $n$ es donde corta al eje $Y$ , es decir $f (0)$ .

Pendiente entre dos puntos: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , el cambio vertical dividido por el horizontal, en ese orden.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente ( $m_{1} = m_{2}$ ) y perpendiculares si el producto de sus pendientes es $- 1$ ( $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ ).

Función cuadrática: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , con $a \neq = 0$ . Su gráfico es una parábola que abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$ ; mientras mayor es $∣ a ∣$ , más angosta.

Elemento	Dónde está
Vértice	$x_{v} = - \frac{b}{2 a}$ , y $y_{v} = f (x_{v})$
Eje de simetría	la recta vertical $x = - \frac{b}{2 a}$
Corte con el eje $Y$	$(0, c)$
Cortes con el eje $X$	las raíces de $a x^{2} + b x + c = 0$

El vértice es el máximo o el mínimo: mínimo si la parábola abre hacia arriba, máximo si abre hacia abajo. Toda pregunta de «la ganancia máxima», «la altura máxima» o «el costo mínimo» se responde calculando el vértice.

Forma canónica: $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ , donde $(h, k)$ es directamente el vértice. Se obtiene completando el cuadrado, y es la forma en que el gráfico se lee sin calcular nada.

Leer un gráfico o una tabla. En una tabla, la función es lineal si a incrementos iguales de $x$ le corresponden incrementos iguales de $y$ ; si esas diferencias cambian de forma constante, es cuadrática.

Tabla de dos filas. En la fila x los valores son 0, 1, 2 y 3. En la fila y, los correspondientes son 5, 8, 11 y 14.

Ejemplo resuelto

1 de 4 pasos

Una recta pasa por los puntos $(1, 5)$ y $(3, 11)$ . Encuentra su ecuación.

Calculo la pendiente: $m = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ .
Por qué: La pendiente es cuánto cambia $y$ dividido por cuánto cambió $x$ . Acá $y$ subió 6 mientras $x$ avanzaba 2.

Otro ejemplo

Una pelota lanzada hacia arriba alcanza una altura $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ metros a los $t$ segundos. ¿Cuál es la altura máxima y en qué instante la alcanza?

El error más común

Invertir la pendiente y calcular $\frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ . La pendiente es el cambio vertical dividido por el horizontal, en ese orden.

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