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Potencias y raíces

Las potencias son la forma corta de escribir multiplicaciones repetidas, y sus propiedades permiten operar sin desarrollar nada. Aparecen en notación científica, interés compuesto y funciones.

Lo que hay que saber

Una potencia $a^{n}$ es el producto de $n$ factores iguales a $a$ : $a$ es la base y $n$ el exponente. Las propiedades permiten operar sin desarrollar nada, y todas exigen la MISMA base.

Propiedad	Regla
Producto de igual base	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Cociente de igual base	$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$
Potencia de potencia	$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$
Potencia de un producto	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$
Potencia de un cociente	$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$
Exponente cero	$a^{0} = 1$ , con $a \neq = 0$
Exponente negativo	$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

El exponente negativo significa recíproco, no número negativo: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , que es positivo. Y $(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$ : el signo menos da vuelta la fracción.

El signo de la base. $(- 2)^{4} = 16$ y $(- 2)^{3} = - 8$ : exponente par da positivo, impar conserva el signo. Sin paréntesis es otra cosa, porque $- 2^{4}$ significa $- (2^{4}) = - 16$ .

Raíces. Una raíz es una potencia de exponente fraccionario: $n a^{m} = a^{m / n}$ , y por eso $a = a^{1/2}$ y valen las mismas propiedades. La raíz de un producto se reparte ( $ab = a b$ ), pero la de una suma NO: $9 + 16 = 5$ , no $3 + 4$ .

Simplificar una raíz es sacar los cuadrados perfectos: $72 = 36 \cdot 2 = 62$ . Y racionalizar es sacar la raíz del denominador multiplicando arriba y abajo por ella: $\frac{3}{2} = \frac{3 2}{2}$ .

Notación científica. Todo número se escribe como $a \times 1 0^{n}$ con $1 \leq a < 10$ . El exponente positivo corre la coma a la derecha y el negativo a la izquierda: $0, 00043 = 4, 3 \times 1 0^{- 4}$ . Para multiplicar se suman los exponentes, y es la forma en que la prueba compara magnitudes muy distintas.

Ejemplo resuelto

1 de 3 pasos

Calcula $\frac{2 ^{5} \cdot 2 ^{- 3}}{2 ^{- 1}}$ .

Arriba tengo la misma base multiplicándose, así que sumo los exponentes: $2^{5} \cdot 2^{- 3} = 2^{5 + (- 3)} = 2^{2}$ .
Por qué: La propiedad del producto vale igual con exponentes negativos: sumar −3 es lo mismo que restar 3.

Otro ejemplo

Escribe en notación científica el resultado de $(3 \times 1 0^{5}) \cdot (4 \times 1 0^{- 8})$ .

El error más común

Creer que $2^{- 3}$ es $- 8$ . El signo del exponente no pasa al resultado: indica que la potencia va al denominador. $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ , un número positivo.

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