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Proporcionalidad directa e inversa

Casi todos los problemas de la vida diaria que aparecen en la PAES —la Prueba de Acceso a la Educación Superior— son de proporción: precios, recetas, mapas, cuadrillas de trabajo. La pregunta que hay que hacerse siempre es una sola: cuando una magnitud sube, ¿la otra sube o baja?

Lo que hay que saber

Una razón es el cociente entre dos cantidades, $a : b$ o $\frac{a}{b}$ , y una proporción es la igualdad de dos razones, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . De ahí sale la propiedad fundamental: en toda proporción los productos cruzados son iguales, $a \cdot d = b \cdot c$ . Es la que justifica la regla de tres.

Proporcionalidad directa. Las dos magnitudes suben y bajan juntas, y lo que se mantiene fijo es el COCIENTE: $\frac{y}{x} = k$ , o lo que es lo mismo, $y = k x$ . La constante $k$ es el valor de una unidad: el precio de un kilo, los kilómetros que representa un centímetro del mapa. Su gráfico es una recta que pasa por el origen.

Proporcionalidad inversa. Una sube cuando la otra baja, y lo que se mantiene fijo es el PRODUCTO: $x \cdot y = k$ , o sea $y = \frac{k}{x}$ . La constante es el total del trabajo: los días-persona de una obra, los kilómetros de un viaje. Su gráfico es una hipérbola que se acerca a los ejes sin tocarlos.

	Directa	Inversa
Se conserva	el cociente $y / x$	el producto $x \cdot y$
Fórmula	$y = k x$	$y = k / x$
Al duplicar $x$	$y$ se duplica	$y$ se reduce a la mitad
Gráfico	recta por el origen	hipérbola

Cómo saber cuál es cuál. No basta con mirar si una sube y la otra baja: hay que probar con los números. Divide un par y después otro; si da lo mismo, es directa. Multiplica un par y después otro; si da lo mismo, es inversa. Si ninguna de las dos cosas se cumple para TODOS los pares, no hay proporcionalidad.

**Cuidado con la trampa del $+$ .** $y = 3 x$ es proporcional; $y = 3 x + 5$ no lo es, aunque crezca igual de parejo. La prueba rápida: en una proporcionalidad directa, si $x$ vale $0$ entonces $y$ vale $0$ .

Proporcionalidad compuesta. Cuando intervienen tres magnitudes —obreros, días y obra— se resuelve una variable a la vez: se fija una, se ajusta la otra. El atajo seguro es la constante con significado, del tipo «días-persona», porque es la cantidad que el problema conserva.

Reparto proporcional. Repartir $T$ en partes proporcionales a $a$ , $b$ y $c$ es multiplicar $T$ por $\frac{a}{a + b + c}$ , $\frac{b}{a + b + c}$ y $\frac{c}{a + b + c}$ . La suma de las partes tiene que devolver $T$ : es la comprobación de un segundo.

Escalas y porcentajes son proporciones. Una escala $1 : 50.000$ dice que $1$ cm en el plano son $50.000$ cm reales, o sea $500 $m . Y u n$ p\%$ es la proporción $\dfrac{p}{100}$, así que todo problema de porcentaje se puede plantear como regla de tres.

Gráfico de días de trabajo contra cantidad de trabajadores. La curva baja rápido y después se va aplanando sin llegar a cero. Hay dos puntos marcados: 3 trabajadores con 8 días y 6 trabajadores con 4 días.

Ejemplo resuelto

1 de 4 pasos

Seis pintores terminan un edificio en 10 días. Trabajando al mismo ritmo, ¿cuántos días demoran 4 pintores?

Decido de qué tipo de proporcionalidad se trata: con menos pintores el trabajo demora más, así que es inversa.
Por qué: Las dos magnitudes se mueven en sentidos opuestos. Si me equivoco acá, todo el resto del cálculo sale al revés.

Otro ejemplo

En un mapa a escala $1 : 250.000$ , dos ciudades están a $7$ cm de distancia. ¿Cuántos kilómetros las separan en la realidad?

El error más común

Usar la regla de tres directa para todo. Frente a "6 pintores en 10 días, ¿y 4 pintores?" la respuesta automática suele ser $\frac{10 \cdot 4}{6} \approx 6, 7$ días, o sea que MENOS pintores terminarían ANTES. Antes de plantear la proporción hay que decidir si las magnitudes van juntas o al revés.

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