Porcentajes y proporcionalidad

**Un porcentaje es una fracción de denominador $100$**: el $p\%$ es $\frac{p}{100}$. Calcular el $p\%$ de una cantidad es multiplicarla por esa fracción: el $20\%$ de $350$ es $350\cdot 0,20=70$.

Los tres casos. Toda pregunta de porcentaje es una de estas tres, y se resuelven con la misma relación $\text{parte}=\text{total}\cdot \frac{p}{100}$:

Factores multiplicativos. Aumentar un $p\%$ es multiplicar por $1+\frac{p}{100}$; descontar un $p\%$, por $1-\frac{p}{100}$. Subir $20\%$ es multiplicar por $1,2$; bajar $15\%$, por $0,85$. Es el atajo que convierte una cadena de cambios en una sola multiplicación.

Los porcentajes sucesivos se multiplican, no se suman. Subir $20\%$ y luego bajar $20\%$ deja $1,2\cdot 0,8=0,96$, es decir un $4\%$ MENOS que al principio, porque cada porcentaje se aplica sobre una base distinta.

Volver atrás es dividir, no restar. Si un precio con IVA del $19\%$ es $\text{\$}11.900$, el neto es $\frac{11.900}{1,19}=\text{\$}10.000$. Restarle el $19\%$ al precio final da $\text{\$}9.639$, que es otra cosa: el $19\%$ estaba calculado sobre el neto, no sobre el total.

Porcentaje y puntos porcentuales. Pasar de $20\%$ a $30\%$ es una subida de diez PUNTOS porcentuales, pero de un $50\%$. Si la pregunta dice «puntos», se resta; si dice «en qué porcentaje varió», se divide por el valor inicial.

Variación porcentual: $\frac{\text{valor final}-\text{valor inicial}}{\text{valor inicial}}\cdot 100$. El denominador es siempre el valor de partida.