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Logaritmos

Un logaritmo responde una sola pregunta: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener este número? Todo lo demás son propiedades que salen de ahí.

Lo que hay que saber

La definición. $lo g_{b} a = c$ significa exactamente $b^{c} = a$ : el logaritmo es el exponente. Pasar de una forma a la otra resuelve la mayoría de los ejercicios.

Propiedad	Regla
Producto	$lo g (x y) = lo g x + lo g y$
Cociente	$lo g \frac{x}{y} = lo g x - lo g y$
Potencia	$lo g x^{n} = n lo g x$
Raíz	$lo g n x = \frac{1}{n} lo g x$
Cambio de base	$lo g_{b} a = \frac{lo g a}{lo g b}$

El logaritmo convierte multiplicaciones en sumas y potencias en productos: para eso se inventó.

Dos valores que hay que saber de memoria. $lo g_{b} 1 = 0$ porque $b^{0} = 1$ , y $lo g_{b} b = 1$ porque $b^{1} = b$ . De ahí también $lo g 10 = 1$ , $lo g 100 = 2$ y $lo g 1000 = 3$ en base diez.

Restricciones. La base debe ser positiva y distinta de $1$ , y el argumento estrictamente positivo. No existe el logaritmo de cero ni de un número negativo, y por eso toda solución de una ecuación logarítmica hay que verificarla en la ecuación original.

Ecuaciones exponenciales. Si las bases se pueden igualar, se igualan los exponentes: $2^{x} = 32 = 2^{5}$ da $x = 5$ . Si no, se aplica logaritmo a ambos lados y se baja el exponente con la propiedad de la potencia.

Ecuaciones logarítmicas. Se juntan los logaritmos en uno solo con las propiedades y se vuelve a la forma exponencial. Las soluciones que dejen un argumento negativo o cero se descartan.

Para qué sirven en la vida real. Las escalas logarítmicas comprimen rangos enormes: la magnitud Richter, el pH —el potencial de hidrógeno, que mide la acidez— y los decibeles. Por eso un sismo de magnitud $7$ libera unas $32$ veces más energía que uno de $6$ , y no un séptimo más.

Curva que pasa por el punto (1, 0) y por el punto (10, 1), sube cada vez más despacio y cae bruscamente cuando x se acerca a cero. No existe para valores negativos de x.

Ejemplo resuelto

1 de 3 pasos

Si $lo g 2 = 0, 30$ y $lo g 3 = 0, 48$ , calcula $lo g 12$ .

Descompongo 12 usando solo los números que conozco: $12 = 2^{2} \cdot 3$ .
Por qué: Los datos son los logaritmos de 2 y de 3, así que hay que escribir 12 en función de ellos. Ese es todo el truco de estos ejercicios.

Otro ejemplo

Resuelve la ecuación $3^{2 x - 1} = 81$ .

El error más común

Inventar propiedades que no existen, como $lo g (x + y) = lo g x + lo g y$ . El logaritmo convierte PRODUCTOS en sumas, no sumas en sumas. Para el logaritmo de una suma no hay ninguna regla.

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