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Homotecia de figuras planas

Una homotecia agranda o achica una figura desde un punto fijo, conservando la forma. Es la transformación que explica por qué una sombra o una fotocopia ampliada sigue siendo "la misma" figura.

Lo que hay que saber

Centro y razón. Una homotecia queda definida por un centro $O$ y una razón $k \neq = 0$ . Cada punto $P$ va a un $P^{'}$ que está sobre la recta $O P$ , de modo que $O P^{'} = k \cdot O P$ .

En coordenadas, con centro en el origen es una multiplicación: $(x, y) \to (k x, k y)$ . Con centro en $O (a, b)$ se mueve el punto, se escala y se devuelve: $P^{'} = (a + k (x - a), b + k (y - b))$ .

Razón $k$	Qué pasa
$k > 1$	la figura se agranda, del mismo lado del centro
$0 < k < 1$	se achica, del mismo lado
$k = 1$	no cambia nada
$k < 0$	pasa al otro lado del centro, invertida

Qué se conserva y qué no. Se conservan los ángulos, el paralelismo y la forma: la imagen es SEMEJANTE a la original, con razón de semejanza $∣ k ∣$ . No se conservan las longitudes, que se multiplican por $∣ k ∣$ .

El centro es el único punto fijo cuando $k \neq = 1$ : es el único que no se mueve, y por eso todas las rectas que unen un punto con su imagen pasan por él. Ubicarlo en un dibujo es cruzar dos de esas rectas.

Áreas y volúmenes. Las longitudes se multiplican por $∣ k ∣$ , las áreas por $k^{2}$ y los volúmenes por $∣ k ∣^{3}$ . Es el error más caro de esta unidad.

No es una isometría. A diferencia de trasladar, rotar o reflejar, una homotecia cambia el tamaño: la figura resultante es semejante, pero no congruente, salvo que $∣ k ∣ = 1$ .

Un triángulo T y otro triángulo T' del doble de tamaño. Los vértices de cada uno están alineados con un punto O mediante líneas punteadas, y las dos figuras quedan del mismo lado de O.

Ejemplo resuelto

1 de 3 pasos

Un triángulo de área 12 cm² se somete a una homotecia de razón $k = 3$ . ¿Cuál es el área del triángulo resultante?

Identifico que se pide un ÁREA, no una longitud.
Por qué: La razón $k$ multiplica longitudes. Para áreas hay que usar $k^{2}$ , y el enunciado está construido para que quien no lo note responda 36.

Otro ejemplo

Al punto $P (6, - 4)$ se le aplica una homotecia de centro en el origen y razón $k = - \frac{1}{2}$ . ¿Cuáles son las coordenadas de su imagen y en qué cuadrante queda?

El error más común

Multiplicar el área directamente por $k$ y responder 36 cm². La razón vale para longitudes. Para área va $k^{2}$ y para volumen $k^{3}$ .

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