Transformaciones isométricas

Una isometría es un movimiento que conserva las distancias: la figura cambia de posición, no de forma ni de tamaño, así que la imagen es congruente con la original. Son tres: traslación, reflexión y rotación.

Traslación según un vector $(a,b)$: cada punto se mueve $a$ en horizontal y $b$ en vertical, de modo que $(x,y)\to (x+a,y+b)$. No tiene puntos fijos.

Reflexión (simetría axial): el eje es un espejo y cambia solo la coordenada perpendicular a él. Los puntos del eje quedan fijos.

Rotación con centro en el origen: gira la figura manteniendo fijo el centro. El sentido positivo es el antihorario.

Dos casos que se confunden. La rotación de $180^{\circ }$ es lo mismo que la simetría central respecto del origen. Y girar $90^{\circ }$ en sentido horario equivale a girar $270^{\circ }$ en sentido antihorario: la tabla se lee igual.

Composición. Cuando se aplican varias transformaciones seguidas, el orden importa: reflejar y después trasladar no da lo mismo que trasladar y después reflejar. Se aplican una por una, en el orden que dice el enunciado, anotando el punto intermedio.

Qué se conserva. Las tres mantienen longitudes y ángulos. La reflexión, además, invierte la orientación: la figura queda «dada vuelta», como en un espejo.