Teorema de Pitágoras

El teorema: en un triángulo rectángulo, $a^2+b^2=c^2$, donde $c$ es la hipotenusa —el lado opuesto al ángulo recto, siempre el más largo— y $a$, $b$ son los catetos.

Solo vale si hay ángulo recto. En un triángulo cualquiera no se puede aplicar, y conviene comprobar que el enunciado o la figura lo declaren.

Para buscar un cateto se despeja restando: $a=\sqrt{c^2-b^2}$. Para la hipotenusa se suma: $c=\sqrt{a^2+b^2}$. Restar o sumar según qué falte es la mitad del ejercicio.

El recíproco también vale, y sirve para clasificar: si se cumple $a^2+b^2=c^2$ el triángulo ES rectángulo. Y comparando:

Tríos pitagóricos que conviene reconocer de memoria: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$, $(7,24,25)$ y todos sus múltiplos, como $(6,8,10)$. Reconocerlos ahorra la raíz.

De dónde salen las fórmulas que ya usas. Todas son Pitágoras aplicado:

- diagonal de un rectángulo de lados $a$ y $b$: $d=\sqrt{a^2+b^2}$;
- diagonal de un cuadrado de lado $a$: $d=a\sqrt{2}$;
- altura de un triángulo equilátero de lado $a$: $h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$;
- distancia entre dos puntos del plano: $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$;
- diagonal de una caja de aristas $a$, $b$, $c$: $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Comprobación de sentido. La hipotenusa tiene que salir mayor que cualquiera de los catetos y menor que su suma. Si no, hay un error de planteo antes que de cálculo.