Ecuaciones cuadráticas

Forma general: $a{x}^2+bx+c=0$, con $a\ne 0$. Si $a$ fuera cero no habría término cuadrático y la ecuación sería lineal.

Fórmula general: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Sirve siempre, y el $\pm$ es el que produce las dos soluciones.

El discriminante $\Delta =b^2-4ac$ dice cuántas hay antes de calcularlas:

Por factorización: si la ecuación se puede escribir como $(x-p)(x-q)=0$, entonces $x=p$ o $x=q$, porque un producto solo da cero si alguno de sus factores es cero. Con coeficientes enteros chicos es más rápido y más seguro que la fórmula.

Ecuaciones incompletas. Cuando falta un término no hace falta la fórmula: $a{x}^2+bx=0$ se factoriza como $x(ax+b)=0$, de donde $x=0$ o $x=-\frac{b}{a}$; y $a{x}^2+c=0$ se despeja como $x^2=-\frac{c}{a}$, que tiene dos raíces opuestas o ninguna real.

Suma y producto de las raíces. Sin resolver nada, $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ y $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$. Es la vía corta cuando la pregunta pide la suma, el producto, o armar una ecuación a partir de sus raíces: $x^2-(x_1+x_2)x+x_1{x}_2=0$.

Completar el cuadrado. Sumando y restando ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$ la ecuación se reescribe como $(x+h{)}^2=k$. Es de donde sale la fórmula general y lo que permite ver el vértice de la parábola.

No toda solución sirve. Si la incógnita es una longitud, una cantidad de personas o un tiempo, la raíz negativa se descarta: la ecuación no sabe de qué está hablando el problema.