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Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

El volumen mide cuánto cabe adentro; el área de superficie, cuánto papel se necesita para forrarlo. Aparecen en problemas de capacidad, envases y pintura.

Lo que hay que saber

El volumen mide cuánto cabe adentro y va en unidades cúbicas; el área de superficie mide cuánto material se necesita para forrarlo y va en unidades cuadradas. Cada pregunta pide una de las dos, y las unidades de la respuesta delatan si se calculó la otra.

Cuerpo	Volumen	Superficie total
Cubo de arista $a$	$a^{3}$	$6 a^{2}$
Prisma / paralelepípedo	$A_{ba se} \cdot h$	suma de todas sus caras
Cilindro	$π r^{2} h$	$2 π r^{2} + 2 π r h$
Cono	$\frac{π r ^{2} h}{3}$	$π r^{2} + π r g$
Pirámide	$\frac{A _{ba se} \cdot h}{3}$	base más las caras laterales
Esfera	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$

El tercio del cono y de la pirámide no es un adorno: un cono cabe exactamente tres veces en el cilindro de la misma base y altura, y lo mismo vale para la pirámide y su prisma.

**La generatriz $g$ ** del cono es el lado inclinado, no la altura, y se obtiene con Pitágoras: $g = r^{2} + h^{2}$ . Usar $h$ donde va $g$ es el error habitual del área lateral.

La superficie se calcula desarrollando el cuerpo. El manto de un cilindro, extendido, es un rectángulo de base $2 π r$ —el contorno del círculo— y altura $h$ . Dibujar la red evita tener que recordar la fórmula.

Unidades y capacidad. $1$ litro $= 1.000 cm^{3}$ y $1 m^{3} = 1.000$ litros. Y al cambiar de unidad de volumen el factor va al cubo: $1 m^{3} = 1.000.000 cm^{3}$ .

Escala. Si las aristas se multiplican por $k$ , la superficie se multiplica por $k^{2}$ y el volumen por $k^{3}$ . Duplicar el radio de un tarro multiplica por ocho lo que le cabe.

Cilindro dibujado en perspectiva. En su tapa circular está marcado el radio, de 5 centímetros, y a un costado su altura, de 10 centímetros.

Ejemplo resuelto

1 de 3 pasos

Un tarro cilíndrico tiene 10 cm de radio y 20 cm de altura. ¿Cuál es su volumen? (Usa $π \approx 3, 14$ .)

Calculo el área de la base, que es un círculo: $π r^{2} = 3, 14 \cdot 1 0^{2} = 314$ cm².
Por qué: El volumen de un cilindro es la base repetida a lo largo de toda la altura, así que primero hay que saber cuánto mide esa base.

Otro ejemplo

Un cono tiene $6$ cm de radio y $8$ cm de altura. Calcula su volumen y su área lateral en términos de $π$ .

El error más común

Elevar al cuadrado todo el producto en vez de solo el radio, o usar el diámetro como si fuera radio. En $π r^{2} h$ el exponente afecta únicamente a $r$ .

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