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Rectas en el plano y posiciones relativas

Una recta en el plano queda descrita por su pendiente y un punto. De ahí salen el paralelismo, la perpendicularidad y los puntos de intersección.

Lo que hay que saber

Forma principal. $y = m x + n$ , donde $m$ es la pendiente y $n$ el coeficiente de posición, que es donde la recta corta al eje $Y$ . También aparece la forma general $A x + B y + C = 0$ y la punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que es la más cómoda cuando se conocen un punto y la pendiente.

Pendiente entre dos puntos. $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ , el cambio vertical dividido por el horizontal. Si $m > 0$ la recta sube; si $m < 0$ baja; si $m = 0$ es horizontal ( $y = n$ ). Una recta vertical no tiene pendiente definida y se escribe $x = a$ .

Relación	Condición
Paralelas	$m_{1} = m_{2}$ (y $n_{1} \neq = n_{2}$ )
Perpendiculares	$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$
Coincidentes	$m_{1} = m_{2}$ y $n_{1} = n_{2}$

Para la perpendicular hay que invertir la fracción y cambiarle el signo: la perpendicular a una recta de pendiente $2$ tiene pendiente $- \frac{1}{2}$ , no $- 2$ .

Intersección. El punto donde se cruzan dos rectas es la solución del sistema formado por sus ecuaciones. Si son paralelas distintas no hay solución, y si son coincidentes hay infinitas.

Dos puntos, dos fórmulas que se usan todo el tiempo:

- distancia: $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ ;
- punto medio: $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$ .

Leer la pendiente de un gráfico. Se cuentan los cuadraditos: cuánto sube por cada uno que avanza. Y el coeficiente de posición se lee directo donde la recta cruza el eje vertical, sin calcular nada.

Recta que baja de izquierda a derecha en un plano cartesiano, con dos puntos marcados: (0 ; 3), donde corta el eje y, y (4 ; 1).

Ejemplo resuelto

1 de 3 pasos

Determina la ecuación de la recta perpendicular a $y = 2 x + 5$ que pasa por el punto $(4, 1)$ .

Leo la pendiente de la recta dada: $m_{1} = 2$ .
Por qué: En la forma $y = m x + n$ la pendiente es el número que acompaña a $x$ . Es el punto de partida de todo el ejercicio.

Otro ejemplo

Una recta pasa por $A (- 2, 1)$ y $B (4, 9)$ . Determina su ecuación, el punto medio de $A B$ y la distancia entre ambos puntos.

El error más común

Usar $- 2$ como pendiente perpendicular en vez de $- \frac{1}{2}$ . La condición es que el PRODUCTO sea $- 1$ : hay que invertir la fracción además de cambiarle el signo.

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