Funciones trigonométricas: seno y coseno

Del triángulo a la circunferencia. En un triángulo rectángulo $\sin \alpha$ es el cateto opuesto sobre la hipotenusa y $\cos \alpha$ el adyacente sobre la hipotenusa. En la circunferencia de radio $1$, el punto que corresponde al ángulo $\alpha$ tiene coordenadas $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$: de ahí sale que ambas funciones vivan entre $-1$ y $1$, y que valga siempre la identidad ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Grados y radianes. Media vuelta son $180^{\circ }=\pi$ rad, así que para pasar de grados a radianes se multiplica por $\frac{\pi }{180}$ y al revés por $\frac{180}{\pi }$.

Son periódicas. $\sin x$ y $\cos x$ se repiten cada $2\pi$, y esa repetición es lo que las hace servir para modelar cualquier cosa que oscile: mareas, temperatura a lo largo del año, corriente alterna.

La forma general. En $y=a\sin (bx)+d$:

- $|a|$ es la amplitud, cuánto sube y baja desde el centro;
- $b$ fija el período según $T=\frac{2\pi }{|b|}$;
- $d$ desplaza la curva verticalmente, y el recorrido pasa a ser $[d-|a|,d+|a|]$.

La diferencia entre ambas. $\sin 0=0$ y $\cos 0=1$: son la misma curva desfasada en $\frac{\pi }{2}$, es decir $\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$.

La tangente es $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$. No está acotada, su período es $\pi$ —la mitad— y no existe donde $\cos x=0$, o sea en $\frac{\pi }{2}$ y cada $\pi$ después.

Cómo leer un gráfico. La amplitud es la mitad de la distancia entre el máximo y el mínimo; el centro $d$ es el promedio de ambos; y el período es lo que la curva demora en volver a empezar. Con esos tres datos se reconstruye la función completa.