Función potencia, exponencial y logarítmica

Una función potencia es $f(x)=a{x}^n$ con $a\ne 0$ y $n$ entero. Todo su comportamiento depende de dos cosas: si el exponente es par o impar, y qué signo tiene el coeficiente.

Exponente par. La curva es simétrica respecto del eje $Y$ (función par): $f(-x)=f(x)$. Ambos extremos apuntan en la misma dirección, como en $y=x^2$. Su recorrido no cubre los dos signos: con $a>0$ nunca toma valores negativos.

Exponente impar. La curva es simétrica respecto del origen (función impar): $f(-x)=-f(x)$. Los extremos apuntan en direcciones opuestas, como en $y=x^3$, y el recorrido son todos los reales.

El coeficiente. Si $a<0$ la curva se refleja verticalmente. Si $|a|>1$ se estira y si $0<|a|<1$ se aplasta, pero ninguna de las dos cosas cambia la simetría: esa la decide el exponente.

Todas pasan por el origen cuando no hay término constante, y todas pasan por $(1,a)$. A mayor exponente, el crecimiento es más brusco para $|x|>1$ y más aplanado para $|x|<1$: entre $0$ y $1$, $x^3$ va por DEBAJO de $x^2$, y después de $1$ lo supera.

Exponente negativo. $f(x)=a{x}^{-n}=\frac{a}{x^n}$ ya no es una parábola ni una cúbica: es una hipérbola, no está definida en $x=0$ y se acerca a los ejes sin tocarlos. Su dominio excluye el cero.

Par, impar o ninguna de las dos. La mayoría de las funciones no es ni par ni impar: $f(x)=x^2+x$ no cumple ninguna de las dos igualdades. La prueba siempre es la misma: calcular $f(-x)$ y comparar.