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Expresiones algebraicas y factorización

Factorizar es escribir una suma como una multiplicación, y es la herramienta con la que se simplifican fracciones algebraicas y se resuelven ecuaciones: si un producto es cero, alguno de sus factores es cero. Antes de factorizar hay que reconocer los productos notables, porque son las mismas identidades leídas al revés.

Lo que hay que saber

Un término algebraico es el producto de un número, el *coeficiente*, por potencias de letras, el *factor literal*: en $- 5 x^{2} y$ el coeficiente es $- 5$ y el factor literal es $x^{2} y$ . Un polinomio es una suma de términos y su grado es el mayor exponente que aparece. Dos términos son semejantes si tienen el mismo factor literal, y solo esos se pueden sumar: $3 x^{2} + 5 x^{2} = 8 x^{2}$ , mientras que $3 x^{2} + 5 x$ no se reduce.

Productos notables. Conviene reconocerlos de memoria, porque se usan en los dos sentidos:

Nombre	Identidad
Cuadrado de binomio	$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$
Suma por diferencia	$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
Cubo de binomio	$(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$
Binomios con término común	$(x + p) (x + q) = x^{2} + (p + q) x + pq$
Suma y diferencia de cubos	$a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$

El término que se olvida es el doble producto: $(a + b)^{2}$ no es $a^{2} + b^{2}$ . Ese $2 ab$ es el que separa la respuesta correcta de casi todas las incorrectas.

Factorizar es el camino inverso, y se busca siempre en este orden:

1) Factor común: lo que se repite en todos los términos sale afuera, $6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)$ . Si no hay uno para todos, puede haberlo por grupos: $a x + a y + b x + b y = a (x + y) + b (x + y) = (a + b) (x + y)$ .
2) Diferencia de cuadrados: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ . La suma de cuadrados no se factoriza en los reales.
3) Trinomio cuadrado perfecto: $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$ . Se reconoce cuando dos términos son cuadrados y el tercero es el doble producto de sus raíces.
4) Trinomio $x^{2} + b x + c$ : dos números que multiplicados den $c$ y sumados den $b$ . Para $x^{2} + 5 x + 6$ son $2$ y $3$ , así que queda $(x + 2) (x + 3)$ .
5) Trinomio $a x^{2} + b x + c$ : si no se ve a simple vista, se obtienen las raíces $x_{1}$ y $x_{2}$ con la fórmula general y se escribe $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Fracciones algebraicas. Se simplifican factorizando arriba y abajo y cancelando factores completos, nunca términos sueltos: $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = \frac{( x + 2 ) ( x - 2 )}{x + 2} = x - 2$ , y eso vale solo si $x \neq = - 2$ . El denominador no puede ser cero, y esa restricción se arrastra aunque el factor haya desaparecido.

Para qué sirve. Por el factor nulo: si un producto es cero, alguno de sus factores es cero. Por eso $x^{2} - 4 = 0$ se resuelve como $(x + 2) (x - 2) = 0$ , de donde $x = - 2$ o $x = 2$ .

Rectángulo cuyo lado horizontal mide x más 3 y cuyo lado vertical mide x más 2.

Ejemplo resuelto

1 de 3 pasos

Factoriza completamente $2 x^{2} - 8$ .

Saco el factor común 2: $2 x^{2} - 8 = 2 (x^{2} - 4)$ .
Por qué: Los dos términos son divisibles por 2. El factor común siempre se busca primero, porque deja adentro una expresión más simple.

Otro ejemplo

Simplifica $\frac{x ^{2} + 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$ e indica para qué valores de $x$ vale la simplificación.

El error más común

Cancelar términos en vez de factores: escribir $\frac{x ^{2} - 4}{x} = x - 4$ tachando la $x$ , o detenerse en $2 (x^{2} - 4)$ y darlo por factorizado. Y el clásico de los productos notables: $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ , que se olvida del doble producto. La suma de cuadrados, en cambio, no tiene factorización en los números reales.

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